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켈러 미분

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목차

1. 개요

켈러 미분은 가환환 사이의 환 준동형 사상에 대해 정의되는 S-가군 ΩS/R과 미분 연산자 d를 말한다. 이들은 보편 성질을 만족하며, 대수기하학과 대수적 수론에서 중요한 도구로 사용된다. 켈러 미분은 스킴의 사상에서 코탄젠트 묶음, 고차 미분 형식, 대수적 드람 코호몰로지 등과 관련되며, 특히 대수 곡선의 분류, 분기 연구 등에 활용된다.

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켈러 미분

2. 정의

가환환 R, S 사이의 환 준동형 사상 \phi\colon R\to S가 주어졌다고 하자. 켈러 미분은 이러한 환 준동형에 대해 정의되는, 특정 보편 성질을 만족시키는 S-가군 \Omega_{S/R}과 R-선형 미분 연산자 d\colon S\to\Omega_{S/R}의 쌍으로 구성된다.

켈러 미분 가군 \Omega_{S/R}과 미분 연산자 d는 다음 조건들을 만족한다.


  • d는 R-가군의 준동형사상이다. 즉, R의 원소 r과 S의 원소 s에 대해 d(\phi(r)s) = \phi(r)d(s)이며, 특히 d(\phi(r))=0이다.[1]
  • d는 곱 규칙 (라이프니츠 규칙)을 만족하는 미분 연산자이다. 즉, 임의의 s,t\in S에 대하여, d(st)=s\cdot(dt)+t\cdot(ds)이다.
  • 보편 성질: 위 두 조건을 만족시키는 임의의 S-가군 M'과 R-선형 미분 연산자 d'\colon S\to M'에 대하여, d'=f\circ d를 만족하는 유일한 S-가군 준동형 f\colon\Omega_{S/R}\to M'이 존재한다.


이러한 보편 성질을 만족시키는 S-가군 \Omega_{S/R}과 미분 연산자 d\colon S\to\Omega_{S/R}는 항상 존재하며, 이 \Omega_{S/R}을 켈러 미분 가군이라고 한다. 보편 성질은 d가 모든 R-선형 미분 연산자 중에서 '가장 일반적인' 것임을 의미하며, 다른 모든 미분 연산자는 d를 통해 유일하게 표현될 수 있다.

이 개념은 스킴의 사상 X\to Y에 대해서도 유사하게 일반화될 수 있으며, 이때는 \mathcal O_X에서 \mathcal O_X-가군층 \Omega_{X/Y}으로 가는 \mathcal O_Y-선형 미분 연산자 d\colon\mathcal O_X\to\Omega_{X/Y}를 정의한다.

켈러 미분의 아이디어는 에리히 켈러에 의해 1930년대에 도입되었으며, 이후 미분적분학의 기법을 가환환론이나 대수기하학과 같이 직접 적용하기 어려운 분야에 적용하기 위한 표준적인 도구로 사용되고 있다.

2. 1. 가환환의 경우

가환환 R과 S 사이의 환 준동형 \phi\colon R\to S가 주어졌다고 하자. 중요한 예시로는 R이 체이고, S가 R 위의 단위 결합 대수 (예를 들어, 아핀 대수다양체의 좌표환)인 경우가 있다. 켈러 미분은 다항식의 도함수가 다시 다항식이라는 관찰을 형식화하며, 미분이라는 개념을 순수하게 대수적인 용어로 표현할 수 있게 한다.

S 위의 R-선형 도함수(''derivation'')는, 어떤 S-가군 M에 대해, 다음 두 조건을 만족하는 R-가군 준동형 d \colon S \to M을 말한다.

  • R-선형성: R의 원소 r과 S의 원소 s에 대해 d(rs) = r d(s)이다. (이는 d가 R-가군 준동형이라는 조건과 R의 이미지가 d의 핵에 포함된다는 조건 d(\phi(r)) = 0과 동치이다.[1])
  • 곱 규칙 (라이프니츠 규칙): 모든 s, t \in S에 대해 d(st) = s \cdot (dt) + t \cdot (ds)를 만족한다.

켈러 미분 가군 \Omega_{S/R}은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 S-가군과 R-선형 도함수 d \colon S \to \Omega_{S/R}의 쌍으로 정의된다.

  • 임의의 S-가군 M과 임의의 R-선형 도함수 d' \colon S \to M에 대하여, d' = f \circ d를 만족하는 유일한 S-가군 준동형사상 f \colon \Omega_{S/R} \to M이 존재한다.


이러한 보편 성질은 도함수 d \colon S \to \Omega_{S/R}가 모든 R-선형 도함수 중에서 '가장 일반적인' 도함수임을 의미한다. 즉, 다른 모든 R-선형 도함수는 보편 도함수 d와 S-가군 준동형의 함수 합성을 통해 유일하게 표현될 수 있다. 이를 Hom 집합과 Der 집합을 사용하여 표현하면 다음과 같은 S-가군 동형사상이 존재한다.

:\operatorname{Hom}_S(\Omega_{S/R}, M) \xrightarrow{\cong} \operatorname{Der}_R(S, M)

켈러 미분 가군 \Omega_{S/R}과 보편 도함수 d는 항상 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 먼저 S의 각 원소 s에 대해 형식적인 기호 ds들을 생성자로 가지는 자유 S-가군을 생각한다. 그 다음, 모든 r \in R과 s, t \in S에 대해 다음 관계식들을 만족하도록 이 자유 S-가군을 나누어 몫가군을 취한다.

  • dr = 0
  • d(s + t) = ds + dt
  • d(st) = s \, dt + t \, ds


이렇게 얻어진 몫가군은 바로 켈러 미분 가군 \Omega_{S/R}이며, 보편 도함수 d는 S의 원소 s를 대응하는 몫가군의 원소 ds로 보내는 사상이다. 위의 관계식들은 보편 도함수 d가 실제로 R-선형 도함수임을 보장한다.

켈러 미분의 아이디어는 에리히 켈러에 의해 1930년대에 처음 도입되었다. 이후 복소수 위의 기하학에서 사용되던 미분적분학의 기법들을 가환환론이나 대수기하학과 같이 미분적분학을 직접 적용하기 어려운 분야에서도 사용할 수 있도록 하는 표준적인 도구로 자리 잡았다.

2. 2. 스킴의 경우

스킴의 사상 f: X \to Y가 주어졌을 때, 켈러 미분은 다음 보편 성질을 만족시키는 f^{-1}\mathcal O_Y-선형 미분 연산자 d\colon\mathcal O_X\to\Omega_{X/Y}와 그 상인 \mathcal O_X-가군층 \Omega_{X/Y}(켈러 미분의 층)으로 정의된다.

  • f^{-1}\mathcal O_Y-선형성: d는 f^{-1}\mathcal O_Y-가군층의 사상이다. 즉, \mathcal O_Y의 역상 f^{-1}\mathcal O_Y \to \mathcal O_X를 통해 \mathcal O_X가 f^{-1}\mathcal O_Y-가군으로 여겨질 때, d는 이 구조와 호환된다.
  • 곱 규칙 (라이프니츠 규칙): d는 미분 연산자이다. 즉, X의 임의의 열린 부분집합 U와 그 위의 단면들 s,t\in\Gamma(U;\mathcal O_X)에 대하여, 다음 식이 성립한다.

d(st)=s\cdot(dt)+t\cdot(ds)\in\Gamma(U;\Omega_{X/Y})

  • 보편성: 위의 두 조건을 만족시키는 임의의 \mathcal O_X-가군층 \mathcal M과 f^{-1}\mathcal O_Y-선형 미분 d'\colon\mathcal O_X\to\mathcal M에 대하여, d'=g\circ d를 만족시키는 유일한 \mathcal O_X-가군층 사상 g\colon\Omega_{X/Y}\to \mathcal M이 존재한다.


켈러 미분 가군층 \Omega_{X/Y}는 국소화와 호환된다. 만약 X = \operatorname{Spec}(S)이고 Y = \operatorname{Spec}(R)가 아핀 스킴이라면, \Omega_{X/Y}는 가환환 R, S 사이의 환 준동형 사상 R \to S에 대한 켈러 미분 가군 \Omega_{S/R}에 대응하는 가군층과 동형이다. 따라서 일반적인 스킴의 켈러 미분은 아핀 스킴에서의 정의를 이용하여 국소적으로 정의한 뒤, 이를 층의 성질을 이용해 이어붙여 구성할 수 있다.

켈러 미분은 기하학적으로도 해석될 수 있다. 섬유곱 X \times_Y X을 생각하자. 이때 대각 사상 \Delta: X \to X \times_Y X의 상 \Delta(X)는 X \times_Y X의 닫힌 부분 스킴이 되는데, 이를 정의하는 아이디얼 층을 \mathcal{I}라고 하자. 그러면 코탄젠트 층 \Omega_{X/Y}는 다음과 같이 정의될 수 있다.

\Omega_{X/Y} := \Delta^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)

여기서 \mathcal{I}/\mathcal{I}^2는 대각 부분 스킴 \Delta(X)의 여법층(conormal sheaf)이며, \Delta^*는 대각 사상에 대한 역상이다. 이 정의는 대각선의 "1차 무한소 근방"(first infinitesimal neighbourhood)에 대한 정보를 담고 있다고 해석할 수 있다. 즉, 대각선 위에서 적어도 2차 이상으로 사라지는 함수들의 영향을 고려하지 않고 1차항의 정보만을 포착하는 것과 유사하다. (관련된 개념으로 여접공간이 있다.)

스킴 사상들의 합성에 대해서는 다음과 같은 완전 순서열이 존재한다. 스킴 사상 f:X\to Y와 g:Y\to Z가 주어지면, X 위의 가군층들에 대한 다음과 같은 두 개의 기본 완전열이 존재한다.

:f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0

또한, i: X \hookrightarrow Y가 아이디얼 층 \mathcal{I}로 정의되는 닫힌 부분 스킴일 경우, \Omega_{X/Y}=0이다. 이 경우, 임의의 스킴 사상 g: Y \to Z에 대해 X 위의 가군층들에 대한 다음과 같은 완전열이 존재한다.

:\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to i^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to 0

여기서 i^*\Omega_{Y/Z}는 \Omega_{Y/Z}를 X로 제한한 층 \Omega_{Y/Z}|_X와 같다.

켈러 미분의 보편성은 임의의 \mathcal O_X-가군층 \mathcal M에 대하여 다음과 같은 자연스러운 동형을 유도한다.

:\operatorname{Der}_{\mathcal O_Y}(\mathcal O_X, \mathcal M) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal O_X}(\Omega_{X/Y}, \mathcal M)

여기서 좌변 \operatorname{Der}_{\mathcal O_Y}(\mathcal O_X, \mathcal M)은 \mathcal O_X에서 \mathcal M으로 가는 모든 \mathcal O_Y-선형 도함수(derivation)들의 \mathcal O_X-가군층을 나타낸다. 이 동형은 단순한 가군층의 동형을 넘어, 함자의 동형이다.

고차 켈러 미분 형식도 정의할 수 있다. 켈러 p-형식의 층 \Omega^p_{X/Y}는 코탄젠트 층 \Omega_{X/Y}의 p차 외적 거듭제곱으로 정의된다.

\Omega^p_{X/Y} := \wedge^p_{\mathcal O_X} \Omega_{X/Y}

이 구성은 국소화와 호환되므로, 대수기하학에서 중요한 (상대) 켈러 p-형식의 층이라는 기하학적 개념을 제공한다.

2. 3. 다른 정의 방법

가환환 R과 S, 그리고 환 준동형 사상 \phi\colon R\to S가 주어졌다고 하자. 텐서곱 S \otimes_R S에서 곱셈 사상 m: S \otimes_R S \to S를 m(\sum s_i \otimes t_i) = \sum s_i t_i와 같이 정의할 때, 이 사상의 핵인 아이디얼 I = \ker(m)를 생각할 수 있다.

이 아이디얼 I를 이용하여 켈러 미분 가군 \Omega_{S/R}을 다음과 같이 정의할 수도 있다.[2][10]

:\Omega_{S/R} = I/I^2

이 정의에서 보편 미분 연산자 d: S \to \Omega_{S/R}는 다음과 같이 주어진다.

:ds = (1 \otimes s - s \otimes 1) \pmod{I^2}

이 구성은 보편 성질을 이용한 정의와 동치이다. 아이디얼 I는 사영 사상 p: S \otimes_R S \to S \otimes_R R \cong S (\sum s_i \otimes t_i \mapsto \sum s_i t_i \otimes 1)의 핵이기도 하므로, S \otimes_R S \cong I \oplus S (가군으로서의 직합) 분해가 성립한다. 따라서 S \otimes_R S / S \cong I이며, 이 동형 사상은 \sum s_i \otimes t_i \pmod{S} \mapsto \sum s_i \otimes t_i - \sum s_i t_i \otimes 1 로 주어진다.

이 동형 사상을 통해 I는 S의 원소 s에 대응하는 형식적 기호 ds = 1 \otimes s - s \otimes 1들로 생성되는 S-가군으로 볼 수 있다. 이 정의는 r \in R에 대해 dr = 0이고, d(s+t) = ds + dt임을 만족한다. 마지막으로, 아이디얼 I^2로 몫을 취하는 것은 라이프니츠 곱 규칙 d(st) = s dt + t ds이 성립하도록 하는 조건에 해당한다.

3. 구성

''R''과 ''S''를 가환환으로 하고, ''φ'':''R'' → ''S''를 환 준동형으로 가정한다. 중요한 예시는 ''R''이 체이고 ''S''가 ''R'' 위의 단위적 대수(예: 아핀 다양체의 좌표환)인 경우이다.

''S'' 위의 ''R''-선형 도함수는 ''R''-가군 사상 d : S \to M으로, ''R''의 원소들을 핵으로 보내고 라이프니츠 규칙 d(fg) = f\,dg + g\,df를 만족하는 것을 말한다.[1] 켈러 미분 가군 \Omega_{S/R}은 다른 모든 도함수가 유일한 ''S''-가군 준동형사상을 통해 인수분해되는 보편적인 ''R''-선형 도함수 d : S \to \Omega_{S/R}를 갖춘 ''S''-가군으로 정의된다. 즉, 임의의 ''S''-가군 ''M''과 ''R''-선형 도함수 D : S \to M에 대해, 유일한 ''S''-가군 준동형사상 f : \Omega_{S/R} \to M이 존재하여 D = f \circ d를 만족한다. 이는 함수 합성 f \mapsto f \circ d가 모든 ''S''-가군 ''M''에 대해 다음과 같은 ''S''-가군 동형사상을 제공함을 의미한다.

:\operatorname{Hom}_S(\Omega_{S/R},M) \xrightarrow{\cong} \operatorname{Der}_R(S,M).

켈러 미분 가군 \Omega_{S/R}과 보편 도함수 d는 다음과 같이 구성할 수 있다.

=== 형식적 생성자를 이용한 구성 ===

''S''의 각 원소 ''s''에 대해 형식적인 기호 ''ds''를 도입하여 자유 ''S''-가군을 만든다. 그런 다음, 모든 ''r'' ∈ ''R''과 ''s'', ''t'' ∈ ''S''에 대해 다음 관계식들을 만족하도록 이 자유 ''S''-가군을 관계식들로 생성된 부분가군으로 나눈 몫가군으로 정의한다.


  • dr = 0
  • d(s + t) = ds + dt
  • d(st) = s dt + t ds


이때 보편 도함수 d : S \to \Omega_{S/R}는 각 ''s'' ∈ ''S''를 ''ds''의 동치류로 보내는 사상으로 정의된다. 처음 두 관계식은 ''d''가 ''R''-가군 준동형임을 보장하고, 마지막 관계식은 라이프니츠 규칙을 만족함을 보장한다.

=== 텐서곱을 이용한 구성 ===

다른 방법으로, 텐서곱 S \otimes_R S의 아이디얼 ''I''를 곱셈 사상 m: S \otimes_R S \to S, s \otimes t \mapsto st의 핵으로 정의한다. 즉, ''I''는 \sum s_i t_i = 0을 만족하는 \sum s_i \otimes t_i 형태의 원소들로 구성된 아이디얼이다. 그러면 켈러 미분 가군은 다음과 같이 정의할 수 있다.[10]

:\Omega_{S/R} = I/I^2

이때 보편 도함수 ''d''는 다음과 같이 정의된다.

:ds = (1 \otimes s - s \otimes 1) \pmod{I^2}

이 두 구성 방법은 동치이다. 아이디얼 ''I''는 사영 S \otimes_R S \to S \otimes_R R \cong S, s \otimes t \mapsto st \otimes 1의 핵이기도 하므로, S \otimes_R S \cong I \oplus S라는 분해가 성립한다. 이 분해를 통해 ''I''는 s \otimes t - st \otimes 1 형태의 원소들로 구성됨을 알 수 있다. 사상 s \mapsto 1 \otimes s - s \otimes 1은 ''S''를 ''I'' 안으로 보내고, I/I^2에서 형식적 생성자를 이용한 구성에서 요구된 관계식들이 성립함을 확인할 수 있다.

켈러 미분의 아이디어는 1930년대 에리히 켈러에 의해 도입되었다. 이후 복소수 위의 기하학에서 사용되던 미분 기법들을 미분기하학적 도구가 부족한 가환환론이나 대수기하학 분야에 적용하기 위해 표준적인 방법으로 자리 잡았다.

4. 성질

켈러 미분은 스칼라 확장과 호환된다. 즉, 두 번째 ''R''-대수 ''R''′과 ''S''′ = ''R''′ ⊗''R'' ''S''에 대해, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

:\Omega_{S/R} \otimes_S S' \cong \Omega_{ S'/R'}.

특히, 켈러 미분은 국소화와 호환된다. 즉, ''W''가 ''S''의 곱셈 집합인 경우, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

:W^{-1}\Omega_{S/R} \cong \Omega_{W^{-1}S/R}.

두 개의 환 준동형사상 R \to S \to T가 주어지면, ''T''-가군의 짧은 완전열이 존재한다.

:\Omega_{S/R} \otimes_S T \to \Omega_{T/R} \to \Omega_{T/S} \to 0.

만약 T=S/I가 어떤 아이디얼 ''I''에 대해 성립한다면, 항 \Omega_{T/S}는 사라지고, 이 열은 다음과 같이 왼편으로 계속될 수 있다.

:I/I^2 \xrightarrow{[f] \mapsto df \otimes 1} \Omega_{S/R} \otimes_S T \to \Omega_{T/R} \to 0.

위의 두 번째 완전열과 다항식환 S=R[t_1, \dots, t_n]의 켈러 미분 \Omega^1_{S/R} = \bigoplus_{i=1}^n S \, dt_i (이는 변수의 미분으로 생성되는 랭크 ''n''의 자유 ''S''-가군이다)을 이용하면, 유한 생성 ''R''-대수 T=R[t_1, \ldots, t_n]/(f_1, \ldots, f_m)의 켈러 미분을 계산할 수 있다. 켈러 미분은 변수 dt_i들의 미분으로 생성되며, 다항식 f_j들의 미분 df_j로부터 오는 관계식들을 만족한다. 예를 들어, 단일 변수의 단일 다항식의 경우,

:\Omega_{(R[t]/(f)) / R} \cong (R[t]\,dt \otimes R[t]/(f)) / (df) \cong R[t]/(f, df/dt)\,dt.

스킴의 사상 f:X\to Y와 g:Y\to Z가 주어지면, X 위의 층의 다음과 같은 완전열이 존재한다.

:f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0

여기서 \Omega_{X/Y}는 상대적 켈러 미분의 층, 즉 코탄젠트 층이다.

또한, X \subset Y가 아이디얼 층 \mathcal{I}에 의해 정의된 닫힌 부분 스킴이고 Y \to Z가 주어진 사상일 때, \Omega_{X/Y}=0 이고, X 위의 층의 다음과 같은 완전열이 존재한다.

:\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{Y/Z}|_X \to \Omega_{X/Z} \to 0

여기서 \mathcal{I}/\mathcal{I}^2는 X의 코노멀 층(conormal sheaf)이며, \Omega_{Y/Z}|_X는 Y의 코탄젠트 층을 X로 제한한 것이다.

임의의 ''S''-가군 ''M''에 대하여, 켈러 미분 가군 \Omega_{S/R}의 보편성은 다음과 같은 자연스러운 동형을 유도한다.

:\operatorname{Der}_R(S,M)\cong \operatorname{Hom}_S(\Omega_{S/R},M)\,

여기서 \operatorname{Der}_R(S,M)은 ''S''에서 ''M''으로 가는 모든 ''R''-선형 미분들로 이루어진 ''S''-가군이다. 이 동형은 가군의 동형일 뿐만 아니라, ''S''-가군 준동형사상 M \to M'과 호환되므로 함자의 동형이다.

5. 예시

임의의 가환환 ''R''에 대해, 다항식환 S=R[t_1, \dots, t_n]의 켈러 미분은 변수의 미분으로 생성되는 랭크 ''n''의 자유 ''S''-가군이다.

:\Omega^1_{R[t_1, \dots, t_n]/R} = \bigoplus_{i=1}^n R[t_1, \dots t_n] \, dt_i.

켈러 미분은 스칼라 확장과 호환된다. 즉, 두 번째 ''R''-대수 ''R''′과 ''S'=R'\otimes_R S''에 대해, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

:\Omega_{S/R} \otimes_S S' \cong \Omega_{ S'/R'}.

이것의 특별한 경우로, 켈러 미분은 국소화와 호환된다. 즉, ''W''가 ''S''의 곱셈 집합인 경우, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

:W^{-1}\Omega_{S/R} \cong \Omega_{W^{-1}S/R}.

두 개의 환 준동형 R \to S \to T가 주어지면, ''T''-가군의 짧은 완전열이 존재한다.

:\Omega_{S/R} \otimes_S T \to \Omega_{T/R} \to \Omega_{T/S} \to 0.

만약 T=S/I가 어떤 아이디얼 ''I''에 대해 성립한다면, 항 \Omega_{T/S}는 사라지고, 이 열은 다음과 같이 왼편으로 계속될 수 있다.

:I/I^2 \xrightarrow{[f] \mapsto df \otimes 1} \Omega_{S/R} \otimes_S T \to \Omega_{T/R} \to 0.

이 두 개의 짧은 완전열의 일반화는 코탄젠트 복합체에 의해 제공된다.

후자의 열과 다항식환에 대한 위 계산을 통해 유한 생성된 ''R''-대수 T=R[t_1, \ldots, t_n]/(f_1, \ldots, f_m)의 켈러 미분을 계산할 수 있다. 간단히 말해서, 이들은 변수의 미분으로 생성되며, 방정식의 미분에서 비롯된 관계를 갖는다. 예를 들어, 단일 변수의 단일 다항식의 경우,

:\Omega_{(R[t]/(f)) / R} \cong (R[t]\,dt \otimes R[t]/(f)) / (df) \cong R[t]/(f, df/dt)\,dt.

켈러 미분은 국소화와 호환되기 때문에, 위에 주어진 두 정의 중 하나를 아핀 열린 부분 스킴에서 수행하고 붙여넣는 방식으로 일반적인 스킴에서 구성할 수 있다. 그러나 두 번째 정의는 즉시 일반화되는 기하학적 해석을 가지고 있다. 이 해석에서 ''I''는 Spec(''S'')를 Spec(''S'') → Spec(''R'') 위에 자체적으로 섬유곱한 것의 대각선을 정의하는 ''아이디얼''을 나타낸다. 따라서 이 구성은 대각선의 "1차 무한소 근방"의 개념을 함수가 적어도 2차로 소멸하는 함수 모듈로를 통해 캡처한다는 의미에서 더 기하학적인 특징을 가지고 있다(관련된 개념은 cotangent 공간 참조). 또한, \mathcal{I}를 섬유곱 X \times_Y X에서 대각선의 아이디얼로 설정하여 스킴의 일반적인 사상 f : X \to Y로 확장된다. ''코탄젠트 묶음'' \Omega_{X/Y} = \mathcal{I} / \mathcal{I}^2는 이전에 정의된 것과 유사하게 정의된 미분 d: \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/Y}과 함께 f^{-1}\mathcal{O}_Y-선형 미분 \mathcal{O}_X-가군 중에서 보편적이다. ''U''가 ''X''의 열린 아핀 부분 스킴이고 ''Y''에서의 상이 열린 아핀 부분 스킴 ''V''에 포함되어 있다면, 코탄젠트 묶음은 ''U''에 대한 묶음으로 제한되며, 유사하게 보편적이다. 따라서 이것은 ''U''와 ''V''를 이루는 환에 대한 켈러 미분 가군과 관련된 묶음이다.

가환 대수 경우와 유사하게, 스킴의 사상과 관련된 완전 순서가 존재한다. 스킴의 사상 f:X\to Y와 g:Y\to Z가 주어지면, X에 대한 묶음의 완전 순서가 존재한다.

:f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0

또한, X \subset Y가 아이디얼 묶음 \mathcal{I}에 의해 주어진 닫힌 부분 스킴인 경우, \Omega_{X/Y}=0 이고, X에 대한 묶음의 완전 순서가 존재한다.

:\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{Y/Z}|_X \to \Omega_{X/Z} \to 0

만약 K/k가 유한체 확대이면, \Omega^1_{K/k}=0는 K/k가 가분적인 경우에만 성립한다. 결과적으로, K/k가 유한 가분체 확대이고 \pi:Y \to \operatorname{Spec}(K)가 매끄러운 다양체(또는 스킴)이면, 상대적 코탄젠트 시퀀스

:\pi^*\Omega^1_{K/k} \to \Omega^1_{Y/k} \to \Omega^1_{Y/K} \to 0

는 \Omega^1_{Y/k} \cong \Omega^1_{Y/K}임을 증명한다.

사영 스킴 X\in \operatorname{Sch}/\mathbb{k}가 주어졌을 때, 그 여접 다발은 기저 등급 대수 상의 여접 모듈의 층화로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, 복소수 상의 곡선을 고려해 보자.

: \operatorname{Proj}\left(\frac{\Complex[x,y,z]}{(x^n + y^n - z^n)} \right)=\operatorname{Proj}(R)

그러면 여접 모듈을 다음과 같이 계산할 수 있다.

:\Omega_{R/\Complex} = \frac{R\cdot dx \oplus R \cdot dy \oplus R \cdot dz}{nx^{n-1}dx + ny^{n-1}dy - nz^{n-1}dz}

이때,

:\Omega_{X/\Complex} = \widetilde{\Omega_{R/\Complex}}

다음 사상을 생각해 보자.

:X = \operatorname{Spec}\left( \frac{\Complex[t,x,y]}{(xy-t)} \right)=\operatorname{Spec}(R) \to \operatorname{Spec}(\Complex[t]) = Y

\operatorname{Sch}/\Complex에서. 그러면 첫 번째 열을 사용하여 다음을 알 수 있다.

:\widetilde{R\cdot dt} \to \widetilde{\frac{R\cdot dt \oplus R \cdot dx \oplus R \cdot dy}{ydx + xdy - dt}} \to \Omega_{X/Y} \to 0

따라서

:\Omega_{X/Y} = \widetilde{\frac{R \cdot dx \oplus R \cdot dy}{ydx + xdy}}

6. 고차 미분 형식과 대수적 드람 코호몰로지

사상 X \to Y를 고정한다. 더 높은 차수의 미분 형식은 (\mathcal O_X 위의) 외대수를 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:\Omega^n_{X/Y} := \bigwedge^n \Omega_{X/Y}.

유도 \mathcal O_X \to \Omega_{X/Y}는 자연스럽게 다음과 같은 일련의 사상으로 확장된다.

:0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{d} \Omega^1_{X/Y} \xrightarrow{d} \Omega^2_{X/Y} \xrightarrow{d} \cdots

이것은 d \circ d=0을 만족하며, 드람 복소수라고 알려진 코체인 복소수이다.

드람 복소수는 추가적인 곱셈 구조, 즉 쐐기곱을 갖는다.

:\Omega^n_{X/Y} \otimes \Omega^m_{X/Y} \to \Omega^{n+m}_{X/Y}.

이 곱셈 구조는 드람 복소수를 가환 미분 등급 대수로 만든다. 또한 외대수로부터 상속받은 코대수 구조도 존재한다.

층의 드람 복합체의 과잉 코호몰로지는 Y 위의 X의 대수적 드람 코호몰로지라고 불리며, H^n_\text{dR}(X / Y) 또는 문맥에서 Y가 명확할 경우 H^n_\text{dR}(X)로 표기한다. 많은 상황에서 Y는 표수가 0인 체의 스펙트럼이다. 대수적 드람 코호몰로지는 그로텐디크(1966a)에 의해 도입되었으며, 결정 코호몰로지와 밀접하게 관련되어 있다.

다른 준-가환층의 가환 코호몰로지에서와 마찬가지로, X = \operatorname{Spec} S이고 Y = \operatorname{Spec} R이 아핀 스킴일 때 드람 코호몰로지 계산이 단순화된다. 이 경우, 아핀 스킴은 고차 코호몰로지를 갖지 않으므로, H^n_\text{dR}(X / Y)는 아벨 군의 복합체의 코호몰로지로 계산할 수 있다.

:0 \to S \xrightarrow{d} \Omega^1_{S/R} \xrightarrow{d} \Omega^2_{S/R} \xrightarrow{d} \cdots

이는 항별로 층 \Omega^r_{X/Y}의 전역 단면이다.

예를 들어, X=\operatorname{Spec}\Q \left [x,x^{-1} \right ]가 \Q 위의 곱셈군이라고 가정하자. 이는 아핀 스킴이므로, 과잉 코호몰로지는 일반 코호몰로지로 축소된다. 대수적 드람 복합체는 다음과 같다.

:\Q[x, x^{-1}] \xrightarrow{d} \Q[x, x^{-1}]\,dx.

미분 d는 미적분학의 일반적인 규칙 d(x^n) = nx^{n-1}\,dx를 따른다. 커널과 코커널을 계산하여 대수적 드람 코호몰로지를 구하면 다음과 같다.

:\begin{align}

H_\text{dR}^0(X) &= \Q \\

H_\text{dR}^1(X) &= \Q \cdot x^{-1} dx

\end{align}

이고, 다른 모든 대수적 드람 코호몰로지 군은 0이다. 비교를 위해, Y=\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p \left [x,x^{-1} \right ]의 대수적 드람 코호몰로지 군은 훨씬 더 크다.

:\begin{align}

H_\text{dR}^0(Y) &= \bigoplus_{k \in \Z} \mathbb{F}_p \cdot x^{kp} \\

H_\text{dR}^1(Y) &= \bigoplus_{k \in \Z} \mathbb{F}_p \cdot x^{kp-1}\,dx

\end{align}

이러한 코호몰로지 군의 베티 수가 예상과 다르기 때문에, 이 문제를 해결하고 유한체에 대한 바일 코호몰로지 이론을 정의하기 위해 결정 코호몰로지가 개발되었다.

만약 X가 매끄러운 복소 대수다양체라면, 다음과 같은 자연스러운 비교 사상이 존재한다.

:\Omega^{\bullet}_{X/\Complex}(-) \to \Omega^{\bullet}_{X^\text{an}}((-)^\text{an})

여기서 대수적 드람 복소수와, X에 연관된 복소다양체인 X^\text{an} 상의 (복소수 값을 갖는) 미분 형식으로 정의된 매끄러운 드람 복소수를 비교한다. (-)^{\text{an}}은 복소 해석화 함자를 나타낸다. 이 사상은 일반적으로 동형사상이 아니다. 그럼에도 불구하고, 그로텐디크(1966a)는 이 비교 사상이 다음과 같은 동형사상을 유도함을 보였다.

:H^*_\text{dR}(X/\Complex) \cong H^*_\text{dR}(X^\text{an})

이는 대수적 드람 코호몰로지와 매끄러운 드람 코호몰로지 사이의 동형 관계를 보여준다. 드람 정리에 의해 이는 특이 코호몰로지 H^*_{\text{sing}}(X^{\text{an}}; \C)와도 동형이다. 특히, X가 \C^n에 포함된 매끄러운 아핀 대수다양체라면, 대수적 미분 형식의 복소수를 X 상의 모든 매끄러운 형식의 복소수로 포함시키는 것은 준동형사상이다. 예를 들어, 만약

:X = \{ (w,z) \in \C^2: w z =1 \},

이라면, 위에서 보인 대수적 드람 코호몰로지 계산은 H^0_{\text{dR}}(X/\C)과 H^1_{\text{dR}}(X/ \C)에 대해 각각 명시적인 생성자 \{ 1, z^{-1} dz \}를 제공하며, 다른 모든 코호몰로지 군은 소멸한다. X가 호모토피 동치에 의해 원과 동치이므로, 이는 그로텐디크의 정리로 예측된 결과와 일치한다.

싱귤러 케이스의 반례는 \deg(y)=3 및 \deg(x)=2인 y를 갖는 등급환 k[x,y]/(y^2-x^3)과 같은 비-Du Bois 특이점에서 찾을 수 있다.[4] 다른 반례는 밀너 수와 튜리나 수가 같지 않은 고립 특이점을 갖는 대수적 평면 곡선에서 찾을 수 있다.[5]

혼합된 Weil 코호몰로지 이론의 개념을 사용한 그로텐디크 정리의 증명은 Cisinski와 Déglise(2013)에 의해 제시되었다.

7. 응용

켈러 미분은 다양한 대수기하학 및 대수적 수론의 개념과 정리에 응용된다.

체 ''k'' 위의 매끄러운 다양체 ''X''에 대해, 켈러 미분 가군층 \Omega_{X/k}는 ''X''의 차원과 같은 랭크를 갖는 벡터 다발이다. 이 벡터 다발의 최고차 외대수 거듭제곱인 \omega_{X/k} := \bigwedge^{\dim X} \Omega_{X/k}는 선형 다발이며, 이를 표준 인자라고 부른다. 표준 인자는 세르 쌍대성이나 베르디에 쌍대성 같은 중요한 정리에서 등장한다.

매끄러운 대수다양체 ''X''의 기하종수 ''g''는 켈러 미분을 이용하여 g := \dim H^0(X, \Omega^d_{X/k}) (여기서 ''d''는 ''X''의 차원)로 정의된다. 특히 곡선의 경우, 이 정의는 복소수체 위에서 곡선에 대응하는 리만 곡면의 위상학적 종수(핸들의 개수)와 일치한다. 곡선은 종수 ''g''의 값에 따라 기하학적, 산술적 성질이 크게 달라지는데, ''g''=0인 유리 곡선, ''g''=1인 타원 곡선, ''g''>1인 경우(쌍곡선 리만 곡면, 초타원 곡선 등 포함)로 분류된다.

매끄러운 다양체 ''X''의 접다발은 정의상 코탄젠트 층(켈러 미분 가군층) \Omega_{X/k}의 쌍대 가군층이다. 리만-로흐 정리와 이를 일반화한 그로텐디크-리만-로흐 정리는 접다발의 토드 특성류를 중요한 항으로 포함한다.

스킴 사상 f: X \to Y가 비분기 사상일 필요충분조건은 상대적 켈러 미분 가군층 \Omega_{X/Y}가 0이 되는 것이다.[6] 예를 들어, 체 ''k''의 확대체 K = k[t]/(f(t))가 분리 가능 확대체일 필요충분조건은 \Omega_{K/k} = 0이다.

유한 유형 사상 f: X \to Y가 평탄 사상이고 상대적 켈러 미분 가군층 \Omega_{X/Y}가 적절한 랭크를 갖는 국소 자유 가군일 때 매끄러운 사상이라고 한다. 예를 들어, 아핀 공간 \mathbb A^n_R에서 \operatorname{Spec}(R)로 가는 사영 사상은 매끄러운데, 이는 \Omega_{R[t_1, \ldots, t_n]/R}이 자유 가군임을 통해 확인할 수 있다.
주기는 넓은 의미에서 대수적으로 정의된 미분 형식의 적분값으로 이해될 수 있다.[7] 가장 간단한 예로 복소 적분 \int_{S^1} \frac {dz} z = 2 \pi i에서 나타나는 2 \pi i가 있다. 대수적 드람 코호몰로지는 주기를 체계적으로 연구하는 도구를 제공한다.[8] 유리수체 \Q 위에서 정의된 대수다양체 ''X''에 대해, 대수적 드람 코호몰로지 H^n_\text{dR}(X / \Q)는 복소수체 \Complex로 밑을 바꾸면 H^n_\text{dR}(X \otimes_{\Q} \Complex / \Complex)와 동형이 된다. 이 코호몰로지 군은 ''X''에 대응하는 복소다양체 X^\text{an}의 드람 코호몰로지 H^n_\text{dR}(X^\text{an})과 같고, 드람 정리에 의해 이는 다시 복소 계수 특이 코호몰로지 H^n(X^\text{an}, \Complex)와 동형이다. 보편 계수 정리에 따르면 이는 H^n(X^\text{an}, \Q) \otimes_{\Q} \Complex와 같다. 결과적으로, 대수적 드람 코호몰로지와 유리수 계수 특이 코호몰로지라는 두 개의 \Q-벡터 공간이 복소수를 텐서곱하면 서로 동형이 됨을 알 수 있다. 이 두 \Q-벡터 공간(격자) 사이의 기저 변환 행렬의 성분들은 유리수배를 무시하면 잘 정의되는 복소수인데, 이들을 주기라고 부른다.

대수적 수론에서는 대수적 수체의 확대에서 나타나는 분기 현상을 연구하는 데 켈러 미분이 사용된다. 대수적 수체 ''K''의 유한 확대체 ''L''이 있고, 각각의 정수환을 ''S''와 ''R''이라고 하자. 이때 상대적 켈러 미분 가군 \Omega_{R/S}의 소멸자 아이디얼은 미분 아이디얼 \delta_{L/K}이라고 불리며, 이는 확대 ''L''/''K''의 분기 정보를 담고 있다.[9][11] 구체적으로 미분 아이디얼은 다음과 같이 정의된다.

\delta_{L/K} = \{ x \in R : x \, \mathrm{d}y = 0 \text{ for all } y \in R \}

여기서 \mathrm{d}y는 \Omega_{R/S}의 원소를 나타낸다.

8. 관련 개념

호흐schild 호몰로지는 결합 링에 대한 호몰로지 이론으로, 켈러 미분과 밀접한 관련이 있다. 이는 매끄러운 다양체의 대수 R의 호흐schild 호몰로지 HH•(R)가 표수 0의 체 k에 대한 드람 복소수 Ω•R/k와 동형이라는 호흐schild-Kostant-Rosenberg 정리에 기인한다. 이 정리의 유도된 개선은 미분 등급 대수의 호흐schild 호몰로지가 유도된 드람 복소수와 동형이라고 말한다.

드람-비트 복소수는 매우 대략적으로 말하면 비트 벡터 링에 대한 드람 복소수의 개선이다.

참조

[1] 웹사이트 Stacks Project https://stacks.math.[...] 2022-11-21
[2] 서적
[3] 서적 Poisson structures Springer
[4] 웹사이트 algebraic de Rham cohomology of singular varieties https://mathoverflow[...]
[5] 간행물 Kähler-de Rham cohomology and Chern classes https://web.archive.[...]
[6] 서적 Etale cohomology
[7] 서적 Une introduction aux motifs Société Mathématique de France
[8] 웹사이트 Periods and Nori Motives http://home.mathemat[...]
[9] 서적
[10] 서적
[11] 서적


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